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Volumen de un sólido de revolución.

Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.

Método de los cilindros.

Primer caso: Cuando el eje de giro está adyacente al area que se va a hacer girar.

Consideremos un rectángulo de altura r , anchura y hagámosla girar alrededor de un eje de revolución, tal como lo indica la figura:

Puede observarse que al hacer girar repetidas veces el rectángulo alrededor del eje de revolución se genera un cilindro cuyo volumen es:

Tomemos ahora una superficie plana y un eje de giro adyacente a ella, tal como lo muestra la figura anterior, dicha superficie plana está formada por n rectángulos cuya base es y altura , entonces al hacer girar la superficie alrededor del eje de revolución, se verá que cada uno de ellos forma un cilindro cuyo volumen será:

y el volumen del sólido cuando será:

cuando el eje de giro es horizontal.

De manera análoga, si el eje de revolución es vertical, entonces :

Ejemplo 1:

Hallar el volumen generado al hacer girar alrededor del eje la superficie plana formada por ; ; .

Solución:

El rectángulo representativo de la superficie plana que servirá de muestra para encontrar el volumen buscado siempre es perpendicular al eje de giro, así que el volumen de este rectángulo representativo, que denotaremos por estará dado por:

y la suma de los volúmenes de todos los cilindros que se obtienen al hacer girar todos los rectángulos representativos desde hasta :

Ejemplo 2:

Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje la superficie limitada por ; .

Solución:

Empezaremos por hacer la gráfica del problema y trazar un rectángulo representativo perpendicular al eje de giro.

En este caso, y , por lo tanto el volumen representativo está dado por

Y la suma de todos los cilindros desde , hasta :

Segundo caso: Cuando el eje de giro no es adyacente a la superficie que se va a girar.

Si se hace girar dicha superficie alrededor del eje x, se obtiene la siguiente figura

Observa que se genera un sólido con una región hueca.

Si se toma un rectángulo perpendicular al eje de revolución y se hace girar repetidamente alrededor de éste, apreciaremos que se genera un cilindro circular hueco.

Dado que el volumen de un cilindro circular hueco se representa geométricamente así:

entonces el que genera nuestro rectángulo en cuestión podrá expresarse así;

con

Procediendo de manera análoga como en el primer caso, el volumen del sólido estará dado por

Ejemplo 3:

Calcula el sólido que se genera al girar alrededor del eje la superficie formada por las gráficas de y

Solución:

Graficando primeramente:

Luego, como los puntos de intersección de ambas gráficas son , entonces

Método de láminas cilíndricas.

En oportunidades para calcular un volumen es necesario tomar los rectángulos paralelos al eje de rotación en lugar de perpendiculares como se hizo en los métodos anteriores, tal como se muestra en la siguientes figuras.

Cuando se gira uno de los rectángulos alrededor del eje de rotación forma una lámina cilíndrica o casquillo de altura y grosor , misma que si la cortáramos la veriamos así:

figura

El volumen de esta lámina estaría dada por :

y el volumen del sólido se obtendría sumando los volúmenes de todas las láminas contenidas en dicha región y que se puede expresar así;

Ejemplo 4:

Encuentra el volumen generado al hacer girar la superficie formada por y alredededor del eje .

Solución:

En este caso como x rerpesenta todas las posiciones que van tomando las láminas dentro de la región sólida y la altura de cada una de ellas, entonces:

Problemas Propuestos:

Encuentra el vlumen del sólido que se genera al girar la superficie indicada alrededor del eje X.

Calcula el volumen del sólido que se genera al rotar la superficie que se te indica alrededor del eje Y.